$\left(\forall a, b, c\in\mathbb{Z}\right)\bigl(\left(\left(\exists \alpha, \beta, \gamma, \delta\in\mathbb{Z}\right)ax^2+bx+c\equiv (\gamma x+\alpha)(\delta x+\beta)\right) \\ \implies\left(\left(\exists m, p\in \mathbb{Z}\right)b=m+p\land ac=mp\right)\bigr)$
$ax^{2} + (m+p)x +c$
$ax^2+mx+px+c$
J’ajoute la variable $h$ = PGCD(a,m) donc :
$a=hk$
$hkc = mp$
$c = \frac{p}{h}\frac{m}{k}$
Ce qui donne donc :
$hkx^2+mx+px+\frac{p}{h}\frac{m}{k}$
$kx(hx+\frac{m}{k})+\frac{p}{h}(hx+\frac{m}{k})$
$(kx+\frac{p}{h})(hx+\frac{m}{k})$
L’expression est factorisée.
Cette méthode ne peut être utilisé si et seulement si :
$\begin{cases}m+p= b\\mp = ac\end{cases}$
Et elle ne devrait être utilisé que sur des petits nombres entiers puisqu’il faut trouver empiriquement $m$ et $p$ issu d’une combinaisons de facteurs premiers de $ac$
Et bien évidemment le discriminant (Δ) du trinôme doit être positif
$b^2−4ac<0 ⟹factorisation \hspace{1mm} impossible$
Elle est néanmoins utile de l’envisager avant de tenter d’autres méthodes plus contraignantes comme celle de la “complétion du carré”